Curva Gaussiana

 

Curva Gaussiana 

La Curva Gaussiana è forse la più famosa ( o famigerata ) distribuzione della statistica. Si incontra in una varietà di contesti molto disparati, per due ragioni:

• Diverse variabili aleatorie ( che rappresentano delle grandezze ) seguono questa distribuzione;
• Il teorema del limite centrale.

In breve, il teorema del limite centrale afferma che una variabile aleatoria il cui campione sia sufficientemente grande tende a seguire una distribuzione gaussiana, più fedelmente quanto più esso è grande.

Usualmente, si considera N=30 come riferimento.

La curva gaussina generica ( o curva normale ) è caratterizzata tramite la media del campione e la sua varianza. Viene indicata come N(media, varianza)=N(m,s).

La gaussiana presenta molte proprietà emozionanti, che vedremo più avanti, ma una particolarmente scomoda. Questa è una densità di probabilità, perciò per calcolare le probabilità di intervalli di valori è necessario fare un integrale. Bene, peccato che non si possa calcolare analiticamente ( cioè con una funzione come risultato ) l'integrale di una gaussiana. Allora, si è trovato un metodo alternativo.

Esistono le cosiddette tavole statistiche che riportano dei valori tabulati. Esistono anche per la gaussiana, ma solo per la Gaussiana ( o normale ) Standard, ovvero una distribuzione N(0,1) a media 0 e varianza 1.

Come si va da una gaussiana qualunque a questa?

Ebbene, si effettua una procedura che rende automaticamente ogni variabile normale anche standard.

m=media

s=varianza (se si calcola la varianza da un campione, s -> S_campionaria/n)

X= variabile gaussiana

Z= variabile standard

Questa procedura si basa sulla proprietà di due funzioni gaussiane: se si sommano (o sottraggono) due variabili normali indipendenti, la media è la somma (o differenza) delle medie e la varianza è sempre la somma delle varianze.

Se perciò mi chiedo con che probabilità la variabile X~N(180,400), come può essere la probabilità che una popolazione di persone con altezza media 180 cm e deviazione standard +-20, ha valori maggiori di 200,  è come chiedere : P(X>200)=P(X-180>200-180)=P((X-180)/20>1)=P(Z>1)